domingo, 1 de junio de 2014

todos los blogs probabilidad y estadisitica

EORÍA DE CONJUNTO 
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» delinfinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas deBernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS

LA TEORÍA DE CONJUNTOS MÁS ELEMENTAL ES UNA DE LAS HERRAMIENTAS BÁSICAS DEL LENGUAJE MATEMÁTICO. DADOS UNOS ELEMENTOS, UNOS OBJETOS MATEMÁTICOS COMO NÚMEROS O POLÍGONOS POR EJEMPLO, PUEDE IMAGINARSE UNA COLECCIÓN DETERMINADA DE ESTOS OBJETOS, UN CONJUNTO. CADA UNO DE ESTOS ELEMENTOS PERTENECE AL CONJUNTO, Y ESTA NOCIÓN DE PERTENENCIA ES LA RELACIÓN RELATIVA A CONJUNTOS MÁS BÁSICA. LOS PROPIOS CONJUNTOS PUEDEN IMAGINARSE A SU VEZ COMO ELEMENTOS DE OTROS CONJUNTOS. LA PERTENENCIA DE UN ELEMENTO A A UN CONJUNTO A SE INDICA COMO A ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
{\mathbb {N}}\subseteq {\mathbb {Z}}\subseteq {\mathbb {Q}}\subseteq {\mathbb {R}}\subseteq {\mathbb {C}}
  • El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.

Álgebra de conjuntos[editar · editar código]

Artículo principal: Álgebra de conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
  • Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
  • Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
  • Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
  • Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algúnconjunto referencial) que no pertenecen a A.
  • Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
  • Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados(a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS       LA TEORÍA INFORMAL DE CONJUNTOS APELA A LA INTUICIÓN PARA DETERMINAR CÓMO SE COMPORTAN LOS CONJUNTOS. SIN EMBARGO, ES SENCILLO PLANTEAR CUESTIONES ACERCA DE LAS PROPIEDADES DE ÉSTOS QUE LLEVAN A CONTRADICCIÓN SI SE RAZONA DE ESTA MANERA, COMO LA FAMOSAPARADOJA DE RUSSELL. HISTÓRICAMENTE ÉSTA FUE UNA DE LAS RAZONES PARA EL DESARROLLO DE LAS TEORÍAS AXIOMÁTICAS DE CONJUNTOS, SIENDO OTRA EL INTERÉS EN DETERMINAR EXACTAMENTE QUÉ ENUNCIADOS ACERCA DE LOS CONJUNTOS NECESITAN QUE SE ASUMA EL POLÉMICO AXIOMA DE ELECCIÓN PARA SER DEMOSTRADOS.







PERMUTACIÓN 
En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
a definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.
Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.
Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo,X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
  • 1 → 1
  • 2 → 2
  • 3 → 3
puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
  • 1 → 3
  • 2 → 2
  • 3 → 1
puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones (aunque se puede considerar a las permutaciones como un tipo especial de variaciones), todas sin repetición o con ella.
Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

Fórmula del número de permutaciones[editar · editar código]

Dado un conjunto finito A\,\! de n\,\! elementos, el número de todas las permutaciones es igual a factorial de n:
n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!.
Demostración: Dado que hay n\,\! formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos (n-1)\,\! formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos [n-(k-1)]\,\!posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,\! formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. \Box \,\!.
Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.
Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

Notaciones


Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.
La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado \{1,...,8\} podemos expresar una permutación \sigma sobre éste mediante una matriz de correspondencias:
\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\3&4&5&7&6&1&8&2\end{pmatrix}}
Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa \sigma ^{{-1}} de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:
\sigma ^{{-1}}={\begin{pmatrix}3&4&5&7&6&1&8&2\\1&2&3&4&5&6&7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\6&8&1&2&3&5&4&7\end{pmatrix}}

Notación de ciclos

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.
Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:
  1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
  2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
  3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.
Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, \sigma  quedaría expresada como composición de dos ciclos:
\sigma = (1 3 5 6 )(2 4 7 8)

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:
\sigma  = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5)
La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en trasposiciones[editar · editar código]


Loupe light.svg Permutaciones de 4 elementos

De izquierda a derecha aparecen las permutaciones en forma matricial, en forma de vector y como producto de trasposiciones.Los números a la derecha indican la cantidad de trasposiciones con que se puede escribir cada permutación (este número no es único, pero sí su paridad). Las permutaciones impares están marcadas con verde o naranja.
Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.
Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).
Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:
(a_{1},\ldots ,a_{n})=(a_{1},a_{2})(a_{2},a_{3})\cdots (a_{{n-1}},a_{n}).
No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si \sigma  admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:
\varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot )\approx ({\mathbb {Z}}_{2},+),\qquad \varepsilon (\sigma )=(-1)^{m}
Donde \scriptstyle S_{n} es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que existen trasposiciones \scriptstyle \tau _{i} tales que:
\sigma =\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{m}\in S_{n}

Permutación par y permutación impar

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones.
Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos:
  • (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.
  • (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones.
  • e (la identidad) también es par.
En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Esto surge como consecuencia directa de la existencia del morfismo \varepsilon :S_{n}\to (\{-1,1\},\cdot ) que tiene como núcleo justamente a las permutaciones pares.

Estructura de grupo

Dado un número natural n\geq 1, consideramos el conjunto X=\{1,2,...,n\}. Definimos el grupo de permutaciones de nelementos, que denotaremos por S_{n}, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de X a X.
Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por A_{n}..
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5     n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
Permutaciones
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
permutaciones
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
Permutaciones circulares
Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
solución
En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
COMBINACIONES

se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Combinaciones
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Combinaciones
Las combinaciones se denotan por variaciones
Ejemplos:
1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
Combinaciones
Combinaciones
2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
Combinaciones
En combinatoria, las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.
De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos elementos pertenezcan a un conjunto dado.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

En este caso el problema que se plantea es como sigue: se tienen objetos de n tipos diferentes. ¿Cuántas k-disposiciones se pueden formar usando estos, si no se toma en cuenta el orden de los elementos en la disposición ( en otras palabras, diferentes disposiciones deben distinguirse por lo menos en un objeto)?1

DEFINICIÓN

De manera similar a como los coeficientes binomiales o combinaciones {\binom {n}{k}}, corresponden al número de formas en que se puede seleccionar un subconjunto de k elementos a partir de un conjunto dado con n elementos, es posible plantear el problema de determinar el número de formas de escoger un multisubconjunto de un conjunto.
Recordemos que en un multiconjunto es permitido repetir elementos aunque, al igual que en los conjuntos, el orden en que se mencionan es irrelevante.
Por ejemplo, {a, e, e, i, o, o, o, u} es el mismo multiconjunto que {e, i, o, u, a, e, o, o}
Para ilustrar el problema, consideremos el conjunto X={a, b, c, d}. Listemos todos los posibles multiconjuntos de 3 elementos obtenidos del conjunto X. Para brevedad, indicaremos las letras como si fuesen una palabra:
aaaaabaacaadabbabcabdaccacdadd
bbbbbcbbdbccbcdbddcccccdcddddd
Se recalca que el orden no importa, por esto es que no se lista por ejemplo, aca ya que el multiconjunto {a, c, a} es el mismo que el multiconjunto {a, a, c}. Estas selecciones donde se permite repetición pero no se toma en cuenta el orden se denominancombinaciones con repetición.

El número de formas en que se puede extraer un multiconjunto con kelementos de un conjunto con n elementos se denota2 3
\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)
y corresponde al número de k-combinaciones con repetición tomadas de un conjunto con n elementos.
Así, del listado inicial podemos deducir que \scriptstyle \left(\!\!{4 \choose 3}\!\!\right)=20.

CÁLCULO DEL NÚMERO DE COMBINACIONES CON REPETICIÓN

Antes de establecer una fórmula para el cálculo directo de combinaciones con repetición, plantearemos un ejemplo clásico de problema relacionado con multiconjuntos.
 [Contraer] ¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?
Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto, Carlos y Daniel (que representaremos como A, B, C, D).
Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 2 caramelos a Alonso, 3 a Beto, 2 a Carlos y 3 a Daniel. Dado que no importa el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como
  • AABBBCCDDD
Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar 1 caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los 9 restantes se los damos a Daniel. Esta repartición la representamos como
  • ADDDDDDDDDD
De manera inversa, cualquier serie de 10 letras A, B, C, D corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por ejemplo, la serie AABBBBBDDD corresponde a:
  • Dar dos caramelos a Alonso, 5 caramelos a Beto, ninguno a Carlos y 3 a Daniel.
De esta forma, por el principio de la biyección, el número de formas en que se puede repartir los caramelos es igual al número de series de 10 letras (sin tomar en cuenta el orden) A, B, C, D. Pero cada una de ellas corresponde a un multiconjunto con 10 elementos, por lo que concluimos que el número total de formas de repartir los caramelos es \scriptstyle \left(\!\!{4 \choose 10}\!\!\right).
La solución del ejemplo anterior es conceptualmente correcta (da el resultado mediante una interpretación combinatoria) pero no es práctica ya que no proporciona realmente el número de formas en que se puede hacer la repartición. Para obtener la fórmula procedemos a usar la siguiente estratagema.
Queremos dividir 10 objetos (los caramelos) en 4 grupos. Para ello colocamos 10 objetos en línea e insertamos 3 separadores para dividirlos en 4 secciones. Por ejemplo, si representamos los caramelos con asteriscos y los separadores con barras, los ejemplos mencionados serían:
  • AABBBCCDDD → **/***/**/***
  • ADDDDDDDDDD → *///*********
  • AABBBBBDDD → **/*****//***
Y cualquier serie de 10 asteriscos separados por 3 barras (permitiendo grupos vacíos) corresponde a una forma de repartir y a su vez, a un multiconjunto:
  • ****/***/**/* → AAAABBBCCD (4 caramelos para Alonso, 3 para Beto, 2 para Carlos y 1 para Daniel)
  • *****/*****// → AAAAABBBBB (5 caramelos para Alonso y 5 para Beto)
De esta forma, el número de formas de repartir corresponde al número de series de 10 asteriscos y 3 barras. Pero esto es precisamente el número de formas de elegir 3 objetos de un conjunto con 13 (de las 13 posiciones se están escogiendo cuales 3 serán barras) y por tanto el resultado es el coeficiente binomial {\binom {13}{3}}=286.
Este argumento se puede aplicar en general: repartir k objetos entre n personas, corresponde a formar multiconjuntos de tamaño k(los karamelos) escogidos de un conjunto con n (los niños), y a su vez esto puede enumerarse con una serie de k asteriscos y n-1barras, que puede realizarse de {\binom {k+(n-1)}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}} formas. Queda establecido así el siguiente teorema.
El número \scriptstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos satisface:
  • Es igual al número de combinaciones con repetición de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos.
  • Es igual al número de formas de repartir k objetos en n grupos.
Y además
\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}.

OTRAS INTERPRETACIONES COMBINATORIAS

Existen dos otras interpretaciones combinatorias importantes para los coeficientes \displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={\binom {k+n-1}{k}}
La primera interpretación está relacionada con el número de soluciones de ciertas ecuaciones diofánticas. Retomando el ejemplo de los 10 caramelos y los 4 niños, observamos que cada repartición corresponde a una solución (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) de la ecuación
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10
si cada variable puede tomar únicamente valores enteros no negativos.
La correspondencia está dada por asignar a la variable i-ésima el número de caramelos recibidos por el i-ésimo niño. Como ejemplo:
  • AABBBCCDDD → x_{1}=2,x_{2}=3,x_{3}=2,x_{4}=3\,.
  • ADDDDDDDDDD → x_{1}=1,x_{2}=0,x_{3}=0,x_{4}=9\,.
  • AABBBBBDDD → x_{1}=2,x_{2}=5,x_{3}=0,x_{4}=3\,.
La generalización sería que \displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) representa el número de soluciones de la ecuación
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=k,
si las variables únicamente toman valores enteros no negativos.
La segunda interpretación es que \displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) corresponde al número de sucesiones monótonas de k términos positivos, acotadas por n, es decir, cuenta el número de formas de llenar la sucesión
1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\leq n.
Esta interpretación se verifica a partir de la anterior tomando tantos términos iguales a i como tenga valor x_{i}.
Ejemplo:
  • AABBBCCDDD: x_{1}=2,x_{2}=3,x_{3}=2,x_{4}=3\, corresponde a la sucesión monótona
1\leq 1\leq 2\leq 2\leq 2\leq 3\leq 3\leq 4\leq 4\leq 4.
  • ADDDDDDDDDD: x_{1}=1,x_{2}=0,x_{3}=0,x_{4}=9\, corresponde a la sucesión monótona
1\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4\leq 4.
  • AAAABBBBBC: x_{1}=4,x_{2}=5,x_{3}=1,x_{4}=0\, corresponde a la sucesión monótona
1\leq 1\leq 1\leq 1\leq 2\leq 2\leq 2\leq 2\leq 2\leq 3.
El número \scriptstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos puede interpretarse también como:
  • El número de soluciones enteras no negativas de la ecuación x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=k.
  • El número de sucesiones monótonas positivas 1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\leq n.

IDENTIDADES

Las combinaciones con repetición satisfacen varias identidades que recuerdan o se asemejan a las identidades para coeficientes binomiales.
Por ejemplo, la identidad de Pascal \displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}={\binom {n}{k}} tiene su equivalente en la siguiente identidad:
Para cualquier n\geq 0,k\geq 0 (exceptuando n=k=0) se cumple
\left(\!\!{{n-1} \choose k}\!\!\right)+\left(\!\!{n \choose {k-1}}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD 

EXPERIMENTO Y ENSAYO
Un experimento aleatorio es un proceso que tiene las siguientes propiedades:
  1. El proceso se efectúa de acuerdo a un conjunto bien definido de reglas.
  2. Es de naturaleza tal que se repite o puede concebirse la repetición del mismo.
  3. El resultado de cada ejecución depende de "la casualidad" y por lo tanto, no se puede predecir un resultado único.
Una sola ejecución del experimento se llama ensayo

ESPACIO MUESTRA Y EVENTO
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestra o espacio muestral del experimento, y se denota por S. Cada uno de los resultados del experimento se llama elemento o punto de S. Se dice que un espacio muestra es finito o infinito, cuando el conjunto S tiene un número finito o infinito de elementos, respectivamente.
En muchos problemas prácticos no estamos tan interesados en los resultados individuales del experimento sino en el hecho de que un resultado se encuentre contenido en un cierto conjunto de resultados. Es claro que cada conjunto de este tipo es un subconjunto del espacio muestra S, Este subconjunto se llama evento osuceso.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos eventos A y B que no ocurren simultáneamente o que no tienen elementos en común; es decir, si A Ç B = Æ , entonces A y B son eventos mutuamente exclusivos o mutuamente excluyentes.

EVENTOS COMPLEMENTARIOS
Dos eventos A y B son complementarios si A È B = S y A Ç B = Æ . En caso de que se cumplan estas dos propiedades a B se le denota por AC (B es el complemento de A) o a A por BC (A es el complemento de B).
  • Árbol de probabilidades: representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

  • Complemento de un evento: elementos del espacio muestral no incluidos en el evento considerado.

  • Dependencia estadística: condición en la que la probabilidad de presentación de un evento depende de la presentación de algún otro evento, o se ve afectada por ésta.

  • Diagrama de Venn: representación gráfica de los conceptos de probabilidad en la que el espacio muestral está representado por un rectángulo y los eventos que suceden en el espacio muestral se representan como partes de dicho rectángulo.

  • Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

  • Evento: uno o más de los resultados posibles de hacer algo, o uno de los resultados posibles de realizar un experimento.



  • Experimento aleatorio actividad que tiene como resultado o que produce un evento. Prueba donde existen dos o más resultados posibles, y no se pude anticipar cuál de ellos va a ocurrir.

  • Frecuencia relativa de presentación: fracción de veces que a la larga se presenta un evento cuando las condiciones son estables, o frecuencia relativa observada de un evento en un número muy grande de intentos o experimentos.

  • Independencia estadística: condición en la que la presentación de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de otro evento.


  • Probabilidad clásica: número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.


  • Probabilidad conjunta: probabilidad de que se presenten dos o más eventos simultáneamente o en sucesión.

  • Probabilidad marginal: probabilidad incondicional de que se presente un evento; probabilidad de que se presente un solo evento. Probabilidad simple, o probabilidad de un evento cualquiera.

  • Probabilidad subjetiva: probabilidad basada en las creencias personales de quien hace la estimación de probabilidad. Asignación de probabilidad en forma intuitiva, en base a la experiencia o el conocimiento.


Ejemplo 23: Sea el experimento de sacar dos fusibles, ambos a la vez, de una caja que contiene 5 fusibles (supongamos que están marcados con las letras a, b, c, d, y e). Supongamos además que 3 están defectuosos (supongamos que los defectuosos son b, c, y d). El espacio muestra es el conjunto de las formas en que se pueden sacar dos fusibles de los cinco.
S = {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de}
Algunos eventos son:
  1. El evento A en que ninguno de los dos fusibles sean defectusos.
  2. El evento B, en que uno de los dos fusibles es defectuoso.
  3. El evento C, en que uno o más fusibles son defectuosos.
  4. El evento D, en que los dos fusibles son defectuosos.
Escritos en notación de conjuntos tenemos:
A = {ae}
B = {ab, ac, ad, be, ce, de}
C = {ab, ac, ad, bc, bd, be, cd, ce, de}
D = {bc, bd, cd}
Los eventos A y B; A y D; B y D; A y C son mutuamente exclusivos, porque A Ç B = Æ , A Ç D = Æ ; B Ç D = Æ .y A Ç C = Æ .
Los eventos A y C son además complementarios, o sea, A Ç C = Æ y A È C = S.

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A intersección B)= 1/4. Determinar:
1determinar
solución
2determinar
solución
3determinar
solución
4determinar
solución
5determinar
solución
Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A intersección B) = 1/5. Determinar:
1determinar
solución
2determinar
solución
3determinar
solución
4determinar
solución
5determinar
solución
6determinar
solución
En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
esquema
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:
1Las dos sean copas
solución
2Al menos una sea copas
solución
3Una sea copa y la otra espada
solución
Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
solución
Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.
1¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?
dibujo
solución
2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?
solución
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
1Hacer una tabla ordenando los datos anteriores
tabla
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
solución
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
solución
4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
solución
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:


1Seleccionar tres niños
árbol                                                                                                                                                                                                                                         
solución
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña
solución
3Seleccionar por lo menos un niño
solución
4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño
solución
En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
1Juegue sólo al fútbol
diagrama
solución
solución
2Juegue sólo al baloncesto
solución
3Practique uno solo de los deportes
solución
4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto
solución
En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
1i tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
tabla
tabla
solución
2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
solución
3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
solución
 Esta  regla  expresa  la  probabilidad  de  que  ocurran   dos  o  más  sucesos  a  la  vez,   P ( A U B).
Puede  presentarse    de  dos  formas:  para  conjuntos   con  intersección  y   para   conjuntos   mutuamente  excluyentes.  Veamos:

Para   conjuntos  con  Intersección:

                                                
  Esto  se  debe  a  que  sumamos  la  probabilidad  de  A más  la  probabilidad de B , pero  como  ya  habíamos sumado la  intersección,  entonces  la  restamos.

Para   conjuntos  con  Mutuamente excluyentes:

                                                             

En este  caso,  no  hay  ningún  problema  en  sumar  ambas  probabilidades.

Ejemplo 1:  Se  lanzan  un   dado.  Usted  gana  $ 3000   pesos   si   el  resultado  es    par  ó   divisible  por  tres   ¿Cuál es  la  probabilidad  de  ganar ?
Lo  que  primero  hacemos   es  definir  los  sucesos :
Sea  A = resultado  par :  A = { 2, 4, 6 }
Sea  B = resultado   divisible por  3 : B = { 3, 6 }   .  Ambos  sucesos  tienen  intersección ?
                                                                                 Luego,
                                                         
                                                         

Ejemplo 2 : Se  tiene  una  baraja  de  cartas (  52  cartas  sin  jockers),  ¿ Cuál  es la  probabilidad  de   sacar  una   Reina  ó  un  As  ?  
Sea A = sacar  una  reina    y   sea  B = sacar  un  as,    entonces :
                              


NOTA:   Si  observas esta   regla,  puedes   notar  que  se  relaciona   fuertemente   con  la  Unión  entre   conjuntos  ( ó ) y  es  una  suma.



REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN
De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar $P(A\cap B):$
MATH
Las relaciones $\left( 1\right) $ y $\left( 2\right) $ son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:
Calcular probabilidades de intersecciones de eventos MATHcon base en probabilidades condicionales.
Esta regla de manera general se puede expresar como:
Sea MATH eventos tales que MATH. Entonces
MATH
Ejemplo
1. (Inspección de Lotes)
Un lote contiene $100$ items de los cuales $20$ son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.
Solución
Sea los eventos
MATH
entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento $A_{1}\cap A_{2}$ que es la intersección entre los eventos $A_{1}$ y $A_{2}$. De la información dada se tiene que:
MATH MATH
así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es
MATH
Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es
MATH
Ejemplo 2 La probabilidad de que la batería de un automóvil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor reciba una corriente de carga mayor que la normal, es $0.8$. La probabilidad de que la batería quede expuesta a altas temperaturas es $0.10$. ¿ Cúal es probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta?
Solución
Sean
$A$ : el evento donde la batería experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y
$B$ : el evento donde la batería está expuesta a altas temperaturas.
$A/B:$ el evento condicional, la batería de un automóvil que esta sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor recibe una corriente de carga mayor que la normal
De la información dada se tiene:
MATH, MATH
Luego, la probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta, $P(A\cap B)$ es :
MATH
Ejemplo 3
El $5\QTR{group}{\%}$ de la población de una ciudad sufre de presión sanguínea alta. De la población con presión sanguínea alta el $75\QTR{group}{\%}$ toman licor mientras que solamente el $50\QTR{group}{\%}$ que no sufren de presión sanguínea alta lo toman. Calcule el porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta.
Solución:
Sean los eventos:
MATH
La probabilidades asociadas a estos eventos son:
MATH
Y la probabilidad a calcular es MATH. El diagrama de árbol, ayuda a entender problemas relacionados con la regla de la multiplicación, como es el caso del presente problema:
vfd
El porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta es determinado como
4. Un lote contien $20$ artículos de los cuales $12$ son defectuosos y $8$ no defectuosos son inspeccionados uno por uno. Si los artículos son seleccionados al azar sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que:
a. Los primeros dos artículos sean defectuosos
b. Entre los tres primeros artículos, dos sean buenos
c. El tercer artículo es defectuoso
d. Si se tine la siguiente regla: se acepta el lote de $20$ artículos si al observar $4$ artículos máximo uno es defectuoso, calcular la probabilidad de rechazar el lote.
Solución:
Sean los eventos:
MATH MATH
MATH MATH
MATH, MATH
a $.$ El evento de interés es $D_{1}\cap D_{2}$ y su probabilidad es
MATH
b. El evento de interés es MATH y su probabilidad es
MATH
c. El evento de interés es MATH y su probabilidad es
MATH
d. Como no se rechaza el lote cuando esxista $0$ defectuoso y $1$ defectuoso, entonces
MATH
Luego
$P\ ($rechazar$)=1-P($Aceptar$)=0.9$

Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio.

La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define

Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad.

Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral. 
Ejemplo 3:
Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad?
Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} 
el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad 
p(A) = 1/4 = 0,25
La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?
Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY} 
la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior
p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5
Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral 
p(A|B) = 1/2 = 0,5 
Ejemplo 4:

Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A = {ser hipertenso} B = {ser fumador} 
A Ç B = {ser hipertenso y fumador} 
p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
Obsérvese que los coeficientes falso-positivo y falso-negativo de las pruebas diagnósticas son probabilidades condicionadas.
La fórmula anterior se puede poner p(A Ç B) = p(B) p(A|B) = p(A) p(B|A)
llamada regla de la multiplicación, que se puede generalizar a más sucesos 
p(A1 Ç A2 Ç A3) = p((A1 Ç A2) Ç A3) = p(A1 Ç A2) p(A3|A1 Ç A2) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2)
En general p(A1 Ç A2 Ç A3 ...) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2) ... 
llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones.
Ejemplo 5:
Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?
A1 = {problemas vasculares}; A2 = {placas de ateroma}; A3 = {expuesto a muerte súbita por ....} 
p(A1) = 0,001; p(A2|A1) = 0,20; p(A3|A1 Ç A2) = 0,1 
p(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002


TEOREMA DE BAYES
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional deAi dado B, para cualquier i, es:


Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) = P(Ai) P(B|Ai) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total  P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes







Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

Solución

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).
Los datos que se tienen son :

P(A) = 0.75     P(F | A) = 0.95
P(B) = 0.25     P(F | B) = 0.98

De acuerdo al Teorema de Bayes:


Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la probabilidad condicional establece que . De esta forma podemos ver que la Probabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema de Bayes, Veamos:



Ejemplo 3. 12. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03
P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04
P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:




Ejemplo 3. 13. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H:    Sea un  hombre
M:   Sea una mujer
E:         La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

                
                

Por lo tanto:






COBAO PL-04 "EL TULE"
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA  
ALUMNO: HERNÁNDEZ CUEVAS JORGE ALBERTO
GRUPO:633

Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)